The Improved Method of Pareto Clutter Power Spectrum Simulation Based on ZMNL

FU Juntao; LU Yu; LIU Qinglin; HE Yujie; SANG Hongwei; LYU Yong

doi:10.15892/j.cnki.djzdxb.2021.04.007

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JPRMG ›› 2021, Vol. 41 ›› Issue (4) : 31-34. DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2021.04.007

The Improved Method of Pareto Clutter Power Spectrum Simulation Based on ZMNL

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There is a problem that power spectrum shape is limited in the method of ZMNL. On the basis of solving the problem of shape parameters, this paper improves existing methods of power spectrum simulation and simulates the power spectrum of asymmetric shape. The simulation results show that the clutter simulation of Pareto distribution can be generated, which contains non-integral shape parameters and power spectrum of asymmetric shape, when the shape parameter values are properly selected and the spectral leakage is acceptable.

Key words

Pareto distribution / clutter / ZMNL / power spectrum

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FU Juntao, LU Yu, LIU Qinglin, et al. The Improved Method of Pareto Clutter Power Spectrum Simulation Based on ZMNL[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2021, 41(4): 31-34 https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2021.04.007

0 引言

在复杂环境下,雷达回波中的背景杂波直接影响雷达的工作性能^[1-2],对其特性进行研究具有重要意义。随着雷达分辨率的提高,杂波模型已经与早期提出的Rayleigh分布等模型^[3]不符,K分布和Pareto分布模型的出现,在理论层次和与实际杂波的拟合程度上都更具有优势^[4-5]。

杂波仿真的方法一般有球不变随机过程(spherically invariant random process, SIRP)法和零记忆非线性变换(zero memory nonlinearity, ZMNL)法两种^[6-7]。Pareto分布的结构变量可以通过倒数变化得到K分布的结构变量^[8],因此Pareto分布的杂波模拟研究可以借鉴K分布的杂波模拟方法。文献[9]利用SIRP法产生K分布的杂波,优点是其幅度分布能够独立控制,但是计算量较大。文献[10]和文献[11]采用的是ZMNL法,在生成K分布杂波时需要将形状参数进行近似处理或者拆分处理。文献[12]解决了ZMNL法中形状参数取值受限的问题,利用逆Gamma分布和逆Beta分布的乘积来生成任意形状参数值的Pareto分布,但是没有对Pareto分布杂波的功率谱特性进行研究。

海杂波的自相关函数可以表示功率谱特性,一般采用高斯模型进行建模,功率谱呈现出对称的特点^[13-14]。由于实际海杂波的功率谱不一定是对称的,该方法无法模拟非对称形状的杂波功率谱,从而使杂波功率谱的仿真受到了限制。文中针对ZMNL法中功率谱模型受限的问题,在文献[12]解决了形状参数取值的基础上,提出了一种产生功率谱为非对称形状的杂波模拟方法,该方法在频谱泄漏水平满足要求的前提下,能够得到非对称形状功率谱的Pareto分布杂波。

1 杂波模型及模拟方法

1.1 Pareto分布杂波模型

服从Pareto分布的海杂波X是复合高斯模型,其概率密度函数(probability density function,PDF)可视为结构分量与散斑分量作用的结果,其表达式为^[15]:

f_{X} (x) = \int_{0}^{+ \infty} p_{Y} (y) p_{X | Y} (x | y) d y

(1)

其中,p_Y(y)是结构分量的PDF。可表示为:

p_Y(y)=

\frac{b^{a}}{Γ (a)}

y^-^a^-1

e^{- \frac{b}{y}}

(2)

式中:Γ(·)为Gamma函数;a为形状参数,其值决定PDF的形状;b为尺度参数,其值决定支撑域的起点。

p_X_|_Y(x|y)是散斑分量的PDF,可表示为:

p_X_|_Y(x|y)=

\frac{1}{y} e^{- \frac{x}{y}}

(3)

1.2 ZMNL方法

假设两个独立随机变量z~IG(z;p+q,1),τ~IB_e(τ;p-r,q+r),那么随机变量γ=zτ~IG(γ;p-r,1)^[12]。其中,p和q为整数,0<r<1,I_G为逆Gamma分布的PDF,如式(4)所示,IB_e为逆Beta分布的PDF,如式(5)所示:

I_G(z;a,b)=

\frac{b^{a}}{Γ (a)}

z^-a-1

e^{- \frac{b}{z}}

(4)

IB_e(τ;c,d)=

\frac{Γ (c + d)}{Γ (c) Γ (d)}

τ^-c-d(τ-1)^d-1

(5)

文献[12]中没有对杂波模拟的功率谱特性进行分析,如果依然采用传统的方法对海杂波的功率谱进行仿真,不仅计算复杂,而且只能得到对称的功率谱模型。对于实际采集得到的海杂波来说,其功率谱不一定是对称的,因此,杂波功率谱的模拟存在限制,需要进一步研究。改进的Pareto杂波模拟框图如图1所示。

**图1 改进的Pareto分布杂波模拟框图**

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2 改进的Pareto杂波模拟方法

为了简化表达式,设图1中的p+q为v,2a²为ε,那么图1中y服从平方根逆Gamma分布,其PDF为:

f_Y(y)=

\frac{2 ε^{v}}{Γ (v)}

y^-2v-1

e^{- \frac{ε}{y^{2}}}

(6)

假设y_i和y_j相互独立,那么y的自相关函数R(y_i,y_j)为:

R(y_i,y_j)=E[y_iy_j]=

\{\begin{array}{l} E [y_{i}] E [y_{j}] = E^{2} [y], i \neq j \\ E [y^{2}] = E [g], i = j \end{array}

(7)

E[y]表达式为:

E [y] = \int_{0}^{+ \infty} y f_{Y} (y) d y = - \frac{ε^{\frac{1}{2}}}{Γ (v)} \int_{0}^{+ \infty} {(\frac{ε}{y^{2}})}^{v - \frac{3}{2}} e^{- \frac{ε}{y^{2}}} d \frac{ε}{y^{2}}

(8)

令t=ε/y²,代入式(8)可得:

E [y] = \frac{ε^{\frac{1}{2}}}{Γ (v)} \int_{0}^{+ \infty} t^{(v - 0.5) - 1} e^{- t} d t = \frac{\sqrt{3} Γ (v - 0.5)}{Γ (v)}

(9)

E[g]表达式为:

E {[g] = \int_{0}^{+ \infty} g I G (g; v, ε) d g = - \frac{ε}{Γ (v)} \int_{0}^{+ \infty} (ε / g)}^{v + 2} e^{- \frac{ε}{g}} d \frac{ε}{g}

(10)

令t=ε/g,代入式(10)可得:

E [g] = \frac{ε}{Γ (v)} \int_{0}^{+ \infty} t^{(v - 1) - 1} e^{- t} d t = \frac{ε Γ (v - 1)}{Γ (v)} = \frac{ε}{v - 1}

(11)

R_y(τ)为:

R_y(τ)=

\frac{ε Γ^{2} (v - 0.5)}{Γ^{2} (v)}

(\frac{ε}{v - 1} - \frac{ε Γ^{2} (v - 0.5)}{Γ^{2} (v)})

δ(τ),τ=i-j

(12)

由维纳钦欣定理可得,y={y₁,y₂,…,y_N}的功率谱S_y(w)是对R_y(τ)进行傅里叶变换:

S_{y} (w) = \int_{- \infty}^{+ \infty} R_{y} (τ) e^{- i w τ} d τ =

(13)

对式(13)进行分析,可得:

\frac{Γ^{2} (v)}{(v - 1) Γ^{2} (v - 0.5)}

<<N+1

(14)

S_y(w)的值可以近似表示为:

S_y(w)≈N

\frac{ε Γ^{2} (v - 0.5)}{Γ^{2} (v)}

δ(w)

(15)

此时,图1中的输出γ={γ₁,γ₂,…,γ_N}的功率谱S_γ(w)为:

S_γ(w)=N

\frac{ε Γ^{2} (v - 0.5)}{Γ^{2} (v)}

·S_z(w)

(16)

其中,S_z(w)为图1中复高斯序列z={z₁,z₂,…,z_N}的功率谱。令K为一个足够大的系数,那么,可以将式(14)改写为式(17):

\frac{K Γ^{2} (v)}{(v - 1) Γ^{2} (v - 0.5)}

-1

(17)

当N和K为定值时,式(14)成立的条件是v值需要达到临界值,并且当v值足够大后,v值的增加对式(14)的影响很微弱。当v值没有达到临界值时,S_γ(w)便不满足式(16),式(13)中的第二项便不能忽略不计,功率谱将出现频谱泄漏的现象。此时,图1中S_γ(w)为:

S_γ(w)=AS_z(w)+B

(18)

式中,A和B分别为:

\{\begin{array}{l} A = N \frac{ε Γ^{2} (v - 0.5)}{Γ^{2} (v)} \\ B = [\frac{ε}{v - 1} - \frac{ε Γ^{2} (v - 0.5)}{Γ^{2} (v)}] \overset{N}{\sum_{i = 1}} S_{z} (w) \end{array}

(19)

为了证明式(10)和式(11),用MATLAB进行仿真。首先产生y={y₁,y₂,…,y_N}为平方根逆Gamma分布的序列,其中,式(6)中的v=2.25,ε=3,N=8000。由定义可知,该序列的自相关估计

{\hat{R}}_{v}

(τ)为:

{\hat{R}}_{v} (τ) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{N - τ} \overset{N - τ}{\sum_{n = 1}} y_{n + τ} y_{n}^{*}, τ \geq 0 \\ \frac{1}{N - | τ |} \overset{N - | τ |}{\sum_{n = 1}} y_{n} y_{n + τ}^{*}, τ < 0 \end{array}

(20)

图2为

{\hat{R}}_{v}

(τ)的曲线,从图中可以看出,在τ=0时有一个峰值,除此之外的地方,曲线的波动几乎为零,斜度较为平坦。通过查看数据可以得到,

{\hat{R}}_{v}

(0)=2.4,

{\hat{R}}_{v}

(2000)=1.95,

{\hat{R}}_{v}

(-2000)=1.98,并在曲线上进行了标注。

图2 y序列的自相关估计

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当v=2.25,ε=3,理论值由式(12)可得:

R_y(τ)=

\{\begin{array}{l} 1.97, τ \neq 0 \\ 2.4, τ = 0 \end{array}

(21)

对比图2中的3个点,可以发现估计值与理论值的大小几乎相等。因此,可以证明式(10)和式(11)理论推导的正确性。

图3是对图2中的自相关估计

{\hat{R}}_{v}

(τ)进行了傅里叶变换,即模拟的功率谱估计。从图3中可以看到,模拟的功率谱是一个零频脉冲,由式(13)可得其零频处的理论功率谱值为:

S_y(0)=(8000-1)×1.97+2.4=15760.43

(22)

图3 仿真数据的功率谱

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通过以上计算可知,假设v值大小恰当,y的功率谱是冲击响应函数,那么复高斯序列z的功率谱形状决定了模拟杂波功率谱S_γ(w)的形状,而复高斯序列z的功率谱形状是由图1中的成形滤波器|H(w)|的形状决定的。因此,只要成形滤波器|H(w)|的形状不是对称的,那么模拟杂波功率谱S_γ(w)的形状就可以是不对称的。而在设计时,对滤波器|H(w)|的形状是没有硬性要求的,所以滤波器|H(w)|在理论上能够为任意的形状。

3 仿真性能分析

为了检验输出的功率谱是否具有非对称性,在MATLAB中进行仿真和验证。首先给出仿真数据的参数,如表1所示。

表1 仿真参数表

参数	数值
采样频率f_s/Hz	1 000
仿真个数N	8 000
形状参数v₁	3.75
尺度参数a₁	2
形状参数v₂	1.05
尺度参数a₂	2

表1中的形状参数取值为非整数,这是为了区别于传统的ZMNL法的形状参数不能为非整数的情况。用MATLAB设计一个功率谱具有非对称形状的成形滤波器,这也是最终输出功率谱期望得到的形状,其曲线如图4所示。

图4 成形滤波器

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根据周期图法,可以生成模拟的输出功率谱图像。图5为形状参数v₁=3.75时,通过成形滤波器的功率谱形状。

由图5可知,模拟的输出功率谱与其相应的成形滤波器在形状上非常相似,即满足功率谱不对称的特点。此外,仿真的功率谱形状存在一定程度的频谱泄漏,这是由于式(18)中存在的B项引起的,与理论推导的结论一样。

图5 模拟功率谱与成形滤波器1对比

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图6为形状参数v₁=1.05时,通过成形滤波器的功率谱形状。

图6 模拟功率谱与成形滤波器2对比

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观察可知,图6仿真的输出功率谱存在一定的频谱泄漏,与其对应的成形滤波器的形状相似,具有不对称的特点,与图5中得出的结论一致。

观察形状参数取不同值时通过同一成形滤波器的图像,即图5和图6。对比发现,形状参数v₁=3.75对应图像的频谱泄漏程度要低于形状参数v₁=1.05对应图像的频谱泄漏程度。这是因为当形状参数取大值时,式(18)中的B项对输出功率谱的影响很小。而随着形状参数值的减小,B项对输出功率谱的影响越来越大,造成的频谱泄漏程度也越来越高,这与前面的理论推导一致。因此,在Pareto杂波模拟的仿真中,形状参数的取值要合适,而且不能太小,这样生成的杂波才能既满足幅度分布,又满足功率谱非对称性的要求。

4 结束语

研究了ZMNL方法中Pareto杂波的功率谱仿真问题。得出如下结论:只要形状参数选择恰当值,其频谱泄漏水平在要求的范围内,那么就能够生成形状参数为非整数、功率谱为非对称形状的Pareto分布杂波。

References

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0 引言
1 杂波模型及模拟方法
1.1 Pareto分布杂波模型
1.2 ZMNL方法
图1 改进的Pareto分布杂波模拟框图
2 改进的Pareto杂波模拟方法
图2 y序列的自相关估计
图3 仿真数据的功率谱
3 仿真性能分析
表1 仿真参数表
图4 成形滤波器
图5 模拟功率谱与成形滤波器1对比
图6 模拟功率谱与成形滤波器2对比
4 结束语
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Received	Published
2020-07-30	2021-08-20
Issue Date
2025-02-13

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